Сьогодні слово «Інтеграл» можна почути досить часто, причому, найчастіше, в найнесподіваніших місцях, наприклад на біржовому каналі по телевізору, або по новинах. Нерідко ми чуємо словосполучення «інтегральні показники», слово «інтегрований», «інтеграційний» тощо. Ну, за великим рахунком, чиновники і телеведучі, взагалі, дуже люблять різні розумні слова, правда навряд чи вони розуміють їх істинне значення. А ми сьогодні поговоримо про те, що ж таке інтеграл, які види інтеграла існують і в чому їх відмінності.
Що таке інтеграл
Інтеграл це латинське слово, яке прийшло до нас з античності, і означає воно «Цілий», або «Повний». Тобто, ясно, що якщо про якийсь об'єкт, наприклад, посудину молока говорили «інтегер», це означало, що він повний, і молока в ньому скільки було, стільки й залишилося.
Згодом це слово стали вживати в абсолютно різних дісціплінах- в філософії, політиці, економіці, в алгебрі і геометрії. Але найбільш просту інтерпретацію інтеграла дає математика.
Визначений інтеграл
Отже, інтеграл це якась сума окремих частин. Ось найбільш прості приклади для, більш чіткого розуміння суті цього терміна:
- Предмет - це інтеграл (сума) молекул.
- Лист в клітку - це інтеграл (сума) клітин.
- Сонячна система - це інтеграл (сума) сонця і планет.
- Суспільство - це інтеграл людей.
- Отрезок- це інтеграл (сума) метрів. Якщо маленький відрізок, то сантиметрів, міліметрів або мікроскопічних відрізків.
- Площа будь-якої поверхні - це інтеграл квадратних метрів, квадратних сантиметрів або міліметрів, а також мікроскопічних площ.
- Обсяг- це інтеграл кубічних метрів або, як їх ще називають - літрів.
Що таке певний і невизначений інтеграли?
Почнемо з певного, так як його зміст піддається розумінню легше.
Геометрія вивчає площі. Наприклад, якщо ви хочете поклеїти будинку шпалери, вам треба знати площу стін, щоб дізнатися, скільки шпалер ви повинні купити. Тоді ви просто множите довжину стіни на висоту і отримуєте її площа. В даному випадку, ця площа є інтегралом квадратних метрів або сантиметрів, в залежності від того, в яких одиницях ви її вимірювали. Але поверхні, площа яких нам потрібно обчислити далеко не завжди мають форму прямокутника, квадрата, або навіть кола. У більшості випадків - це складні фігури з хвилястими сторонами. Найбільш поширений приклад - площа фігури під кривою, що має рівняння y = 1 / x. Справа в тому, що знайти її площа за допомогою звичайних формул, якими ми знаходимо площа квадрата, кола або навіть сфери - неможливо. Для цієї мети був розроблений певний інтеграл.
Суть методу в тому, що нашу складну фігуру потрібно розбити на дуже вузькі прямокутники, настільки вузькі, що висота кожних двох сусідніх практично дорівнює. Ясно, що по суті, дає змогу зменшити товщину цих прямокутників нескінченно, тому для позначення їх товщини використовується розмір dx. X - це координата, а приставка d - це позначення нескінченно зменшується величини. Тому, коли ми пишемо dx - це значить, що ми беремо відрізок по осі x, довжина якого дуже мала, практично дорівнює нулю.
Отже, ми вже домовилися, що площа будь фігури-це інтеграл квадратних метрів або будь-яких інших фігур з більш дрібними площами. Тоді наша фігура, площа якої ми шукаємо, являє собою інтеграл або суму тих нескінченно тонких прямокутників, на які ми її розбили. А її площадь- це сума їх площ. Тобто вся наша задача зводиться до того, щоб знайти площу кожного з цих прямокутників, а потім їх все сложіть- це і є певний інтеграл.Тепер поговоримо про невизначеному інтегралі. Тільки, для того, щоб зрозуміти, що це таке, спочатку потрібно дізнатися про похідну. Тож почнемо.
Похідна - це кут нахилу дотичній до якого-небудь графіку в який-небудь її точці. Іншими словами - похідна - це те, наскільки графік нахилений в даному його місці. Наприклад, пряма лінія в будь-якій точці має один і той же нахил, а крівая- різний, але він може повторюватися. Для обчислення похідної існують спеціальні формули, а процес її обчислення називають диференціюванням. Тобто диференціювання - це визначення кута нахилу графіка в даній точці.
Таблиця основних невизначених інтегралів
А для того, щоб зробити навпаки - дізнатися формулу графіка по куту її нахилу, вдаються до операції інтегрування, або підсумовування даних про всі точки. Інтегрування і діфференцірованіе- два взаімообратних процесу. Тільки тут вже користуються не тим інтегралом, який був в першому пункті (для визначення площі), а іншим - невизначеним, тобто, не мають меж.
Припустимо, що нам відомо, що похідна деякої функції дорівнює 5. 5 - це кут нахилу графіка до осі х в даній точці. Тоді, проинтегрировав похідну, ми дізнаємося, що функція цієї похідної, яку ще називають первісною - у = 5х + с, де с- будь-яке число. Для інтегрування, так само як і для диференціювання є спеціальні формули, які можна знайти в таблицях.висновок
На закінчення прорезюміруем, що основна відмінність певного інтеграла від невизначеного - в їх призначеннях. Певні інтеграли використовуються для обчислення обмежених параметрів, таких як площа, довжина або об'єм, а невизначений - при обчисленні параметрів, які не мають кордонів, тобто функцій.
Цікаве відео на цю тему:
